1、图的拉普拉斯矩阵

1.1 拉普拉斯算子

　　拉普拉斯算子 (Laplace Operator) 是为欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度的 散度，可以写作 $\\Delta, \\nabla^{2}, \\nabla \\cdot \\nabla$ 这几种形式。如果函数 $f$ 是二阶可微的实函数，则 $f$ 的拉普 拉斯算子可以写作:

　　　　$\\Delta f=\\nabla^{2} f=\\nabla \\cdot \\nabla f$

　　这里简单介绍一下散度的概念：散度（divergence）用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度。散度描述的是向量场里一个点是汇聚点还是发源点。值为正时表示该点为发源点，值为负时表示该点为汇聚点，值为零时表示该点无源。散度在物理上的含义可以理解为磁场、热源等。在笛卡尔坐标系中，矢量 $V$ 的散度表示为：

　　　　$\\nabla \\cdot V=\\frac{\\partial V_{x}}{\\partial x}+\\frac{\\partial V_{y}}{\\partial y}+\\frac{\\partial V_{z}}{\\partial z}$

　　那么拉普拉斯算子作为梯度的散度，则在笛卡尔坐标系中定义为：

　　　　$\\Delta f=\\sum \\limits _{i=1}^{n} \\frac{\\partial^{2} f}{\\partial x_{i}^{2}}$

　　也就是表示为函数 $f$ 在各个维度上的二阶偏导数的和。

　　接下来来看一下拉普拉斯算子直观上表示什么含义，以一维空间为例：

　　　　$\\begin{aligned}\\Delta f(x)=& \\frac{\\partial^{2} f}{\\partial x^{2}} \\\\=& f^{\\prime \\prime}(x) \\\\\\approx & f^{\\prime}(x)-f^{\\prime}(x-1) \\\\\\approx &[f(x+1)-f(x)]-[f(x)-f(x-1)] \\\\=&f(x+1)+f(x-1)-2 f(x)\\end{aligned}$

　　也就是说二阶导数近似于二阶差分，从这一角度来看拉普拉斯算子直观上表示函数 $f$ 在当前点 $x$ 的所有自由度上进行微小扰动后所获得的函数值的增益，这里有 2 个自由度，方向是 $x$ 的 $+1$ 和 $-1$ 方向。
　　接着来看二维空间的例子:

　　　　$\\begin{align*}\\label{2}& \\Delta f(x, y)=\\frac{\\partial^{2} f}{\\partial x^{2}}+\\frac{\\partial^{2} f}{\\partial y^{2}} \\\\&\\quad\\quad\\quad\\quad\\approx[f(x+1, y)+f(x-1, y)-2 f(x, y)]+[f(x, y+1)+f(x, y-1)-2 f(x, y)] \\\\&\\quad\\quad\\quad\\quad=f(x+1, y)+f(x-1, y)+f(x, y+1)+f(x, y-1)-4 f(x, y)\\end{align*}$

　　二维空间中的拉普拉斯算子表征一个点 $x$ 在 $4$ 个自由度上微扰以后的函数增益，方向分别为 $ (1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1) $。这就是图像中的拉普拉斯卷积核，如果算上对角线以后 可以认为有 $8$ 个自由度：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/85287578https://mp.weixin.qq.com/s/bkHxNONeTIzWUR6eiGjsmghttps://qddmj.cn/gcn-laplacian.htmhttps://qddmj.cn/gcn-laplacian2.htmhttps://zhuanlan.zhihu.com/p/81502804

References

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