图解AI数学基础 | 线性代数与矩阵论

作者：韩信子@ShowMeAI
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1.标量（Scalar）

一个标量就是一个单独的数。只具有数值大小，没有方向（部分有正负之分），运算遵循一般的代数法则。

• 一般用小写的变量名称表示。
• 质量$m$、速率$v$、时间$t$、电阻$\\rho$ 等物理量，都是数据标量。

2.向量（Vector）

向量指具有大小和方向的量，形态上看就是一列数。

• 通常赋予向量粗体小写的名称；手写体则在字母上加一个向右的箭头。

• 向量中的元素是有序排列的，通过索引可以确定每个元素。

• 以下两种方式，可以明确表示向量中的元素时（注意用方括号）。

• 可以把向量看作空间中的有向线段，向量的每个组成元素，对应向量在不同的坐标轴上的投影长度。

AI中的应用：在机器学习中，单条数据样本的表征都是以向量化的形式来完成的。向量化的方式可以帮助AI算法在迭代与计算过程中，以更高效的方式完成。

3.矩阵（Matrix）

矩阵是二维数组，其中的每一个元素被两个索引确定。矩阵在机器学习中至关重要，无处不在。

• 通常会赋予矩阵粗体大写的变量名称。

AI中的应用：样本以矩阵形态表示：$m$条数据/样本，$n$个特征的数据集，就是一个$m \\times n$的矩阵。

4.张量（Tensor）

几何代数中定义的张量，是基于向量和矩阵的推广。

• 标量，可以视为零阶张量
• 向量，可以视为一阶张量
• 矩阵，可以视为二阶张量

• 图片以矩阵形态表示：将一张彩色图片表示成一个$H \\times W \\times C$的三阶张量，其中$H$是高，$W$是宽，$C$通常取3，表示彩色图3个颜色通道。
• 在这个例子的基础上，将这一定义继续扩展，即：用四阶张量（样本，高度，宽度，通道）表示一个包含多张图片的数据集，其中，样本表示图片在数据集中的编号。

• 用五阶张量（样本，帧速，高度，宽度，通道）表示视频。

AI中的应用：张量是深度学习中一个非常重要的概念，大部分的数据和权重都是以张量的形态存储的，后续的所有运算和优化算法也都是基于张量进行的。

5.范数（Norm）

范数是一种强化了的距离概念；简单来说，可以把『范数』理解为『距离』。

在数学上，范数包括『向量范数』和『矩阵范数』：

• 向量范数（Vector Norm），表征向量空间中向量的大小。向量空间中的向量都是有大小的，这个大小就是用范数来度量。不同的范数都可以来度量这个大小，就好比米和尺都可以来度量远近一样。

• 矩阵范数（Matrix Norm），表征矩阵引起变化的大小。比如，通过运算$\\boldsymbol\\boldsymbol = \\boldsymbol，可以将向量\\boldsymbol变化为\\boldsymbol$，矩阵范数就可以度量这个变化的大小。

向量范数的计算：

对于$\\mathrm -范数，如果\\boldsymbol=\\left[x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_\\right]{\\mathrm}，那么向量\\boldsymbol的\\mathrm -范数就是|\\boldsymbol|=\\left(\\left|x{1}\\right|+\\left|x_{2}\\right|+\\cdots+\\left|x_\\right|\\right)^{\\frac{1}}$。

L1范数：|| \\boldsymbol{x}||_{1}=\\left|x_{1}\\right|+\\left|x_{2}\\right|+\\left|x_{3}\\right|+\\cdots+\\left|x_{n}\\right|

• $\\mathrm =1$时，就是L1范数，是$\\boldsymbol$向量各个元素的绝对值之和。

• L1范数有很多的名字，例如我们熟悉的曼哈顿距离、最小绝对误差等。

L2范数：\\|\\boldsymbol{x}\\|_{2}=\\left(\\left|x_{1}\\right|^{2}+\\left|x_{2}\\right|^{2}+\\left|x_{3}\\right|^{2}+\\cdots+\\left|x_{n}\\right|^{2}\\right)^{1 / 2}

• $\\mathrm =2$时，就是L2范数，是$\\boldsymbol$向量各个元素平方和的开方。

• L2范数是我们最常用的范数，欧氏距离就是一种L2范数。

AI中的应用：在机器学习中，L1范数和L2范数很常见，比如『评估准则的计算』、『损失函数中用于限制模型复杂度的正则化项』等。

6.特征分解（Eigen-decomposition）

将数学对象分解成多个组成部分，可以找到他们的一些属性，或者能更高地理解他们。例如，整数可以分解为质因数，通过$12=2 \\times 3 \\times 3$可以得到『12的倍数可以被3整除，或者12不能被5整除』。

同样，我们可以将『矩阵』分解为一组『特征向量』和『特征值』，来发现矩阵表示为数组元素时不明显的函数性质。特征分解（Eigen-decomposition）是广泛使用的矩阵分解方式之一。

• 特征向量：方阵$\\boldsymbol的特征向量，是指与\\boldsymbol相乘后相当于对该向量进行缩放的非零向量，即\\boldsymbol\\nu =\\lambda \\nu$。

• 特征值：标量$\\lambda$被称为这个特征向量对应的特征值。

使用特征分解去分析矩阵$\\boldsymbol时，得到特征向量\\nu$构成的矩阵$\\boldsymbol和特征值构成的向量\\boldsymbol{\\Lambda }，我们可以重新将\\boldsymbol写作：\\boldsymbol = \\boldsymbol \\boldsymbol{\\Lambda} \\boldsymbol^{-1}$

7.奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）

矩阵的特征分解是有前提条件的。只有可对角化的矩阵，才可以进行特征分解。实际很多矩阵不满足这一条件，这时候怎么办呢？

将矩阵的『特征分解』进行推广，得到一种被称为『矩阵的奇异值分解』的方法，即将一个普通矩阵分解为『奇异向量』和『奇异值』。通过奇异值分解，我们会得到一些类似于特征分解的信息。

将矩阵$\\boldsymbol分解成三个矩阵的乘积\\boldsymbol = \\boldsymbol \\boldsymbol \\boldsymbol^{-1}$。

• 假设$\\boldsymbol$是一个$mn$矩阵，那么$\\boldsymbol$是一个$mm$矩阵，$D$是一个$mn$矩阵，$V$是一个$nn$矩阵。

• $\\boldsymbol \\boldsymbol \\boldsymbol$这几个矩阵都拥有特殊的结构：

  $\\boldsymbol和\\boldsymbol都是正交矩阵，矩阵\\boldsymbol的列向量被称为左奇异向量，矩阵\\boldsymbol$ 的列向量被称右奇异向量。

• $\\boldsymbol是对角矩阵（注意，\\boldsymbol不一定是方阵）。对角矩阵\\boldsymbol对角线上的元素被称为矩阵\\boldsymbol$的奇异值。

AI中的应用：SVD最有用的一个性质可能是拓展矩阵求逆到非方矩阵上。而且大家在推荐系统中也会见到基于SVD的算法应用。

8.Moore-Penrose广义逆/伪逆（Moore-Penrose Pseudoinverse）

假设在下面问题中，我们想通过矩阵$\\boldsymbol的左逆\\boldsymbol来求解线性方程：\\boldsymbol x=y$，等式两边同时左乘左逆B后，得到：x=\\boldsymbol{B} y。是否存在唯一的映射将$\\boldsymbol映射到\\boldsymbol$，取决于问题的形式：

• 如果矩阵$\\boldsymbol$的行数大于列数，那么上述方程可能没有解；

• 如果矩阵$\\boldsymbol$的行数小于列数，那么上述方程可能有多个解。

Moore-Penrose伪逆使我们能够解决这种情况，矩阵$\\boldsymbol$的伪逆定义为：

但是计算伪逆的实际算法没有基于这个式子，而是使用下面的公式：$$\\boldsymbol{A}^{+}=\\boldsymbol{U} \\boldsymbol{D}^{+} \\boldsymbol{V}^{T}$$- 矩阵$\\boldsymbol{U}$、$\\boldsymbol{D}$和$\\boldsymbol{V}^{T}$是矩阵$\\boldsymbol{A}$奇异值分解后得到的矩阵；- 对角矩阵$\\boldsymbol{D}$的伪逆$\\boldsymbol{D}^{+}$是其非零元素取倒之后再转置得到的。9.常用的距离度量———在机器学习里，大部分运算都是基于向量的，一份数据集包含n个特征字段，那每一条样本就可以表示为n维的向量，通过计算两个样本对应向量之间的距离值大小，有些场景下能反映出这两个样本的相似程度。还有一些算法，像KNN和K-means，非常依赖距离度量。设有两个$n$维变量：$$A=[ x_{11}, x_{12},…,x_{1n} ] ^{T}$$$$B=[ x_{21} ,x_{22} ,…,x_{2n} ] ^{T}$$**一些常用的距离公式定义如下**：### 1）曼哈顿距离（Manhattan Distance）曼哈顿距离也称为城市街区距离，数学定义如下：$$d_{12} =\\sum_{k=1}^{n}{| x_{1k}-x_{2k} | }$$**曼哈顿距离的Python实现**：“`pythonimport numpy as npvector1 = np.array([1,2,3])vector2 = np.array([4,5,6])manhaton_dist = np.sum(np.abs(vector1-vector2))print("曼哈顿距离为", manhaton_dist)“`> 前往我们的在线编程环境运行代码：[http://blog.showmeai.tech/python3-compiler/#/](http://blog.showmeai.tech/python3-compiler/#/)### 2）欧氏距离（Euclidean Distance）欧氏距离其实就是L2范数，数学定义如下：$$d_{12} =\\sqrt{\\sum_{k=1}^{n}{( x_{1k} -x_{2k} ) ^{2} } }$$**欧氏距离的Python实现**：“`pythonimport numpy as npvector1 = np.array([1,2,3])vector2 = np.array([4,5,6])eud_dist = np.sqrt(np.sum((vector1-vector2)**2))print("欧式距离为", eud_dist)“`> 前往我们的在线编程环境运行代码：[http://blog.showmeai.tech/python3-compiler/#/](http://blog.showmeai.tech/python3-compiler/#/)### 3）闵氏距离（Minkowski Distance）从严格意义上讲，闵可夫斯基距离不是一种距离，而是一组距离的定义：$$d_{12} =\\sqrt[p]{\\sum_{k=1}^{n}{( x_{1k} -x_{2k} ) ^{p} } }$$实际上，当$p=1$时，就是曼哈顿距离；当$p=2$时，就是欧式距离。> 前往我们的在线编程环境运行代码：[http://blog.showmeai.tech/python3-compiler/#/](http://blog.showmeai.tech/python3-compiler/#/)### 4）切比雪夫距离（Chebyshev Distance）切比雪夫距离就是无穷范数，数学表达式如下：$$d_{12} =max( | x_{1k}-x_{2k} |)$$**切比雪夫距离的Python实现如下**：“`pythonimport numpy as npvector1 = np.array([1,2,3])vector2 = np.array([4,5,6])cb_dist = np.max(np.abs(vector1-vector2))print("切比雪夫距离为", cb_dist)“`> 前往我们的在线编程环境运行代码：[http://blog.showmeai.tech/python3-compiler/#/](http://blog.showmeai.tech/python3-compiler/#/)### 5）余弦相似度（Cosine Similarity）余弦相似度的取值范围为\\[-1,1\\]，可以用来衡量两个向量方向的差异：* 夹角余弦越大，表示两个向量的夹角越小；* 当两个向量的方向重合时，夹角余弦取最大值1；* 当两个向量的方向完全相反时，夹角余弦取最小值-1。机器学习中用这一概念来衡量样本向量之间的差异，其数学表达式如下：$$cos\\theta =\\frac{AB}{| A | |B | } =\\frac{\\sum_{k=1}^{n}{x_{1k}x_{2k} } }{\\sqrt{\\sum_{k=1}^{n}{x_{1k}^{2} } } \\sqrt{\\sum_{k=1}^{n}{x_{2k}^{2} } } }$$**夹角余弦的Python实现**：“`pythonimport numpy as npvector1 = np.array([1,2,3])vector2 = np.array([4,5,6])cos_sim = np.dot(vector1, vector2)/(np.linalg.norm(vector1)*np.linalg.norm(vector2))print("余弦相似度为", cos_sim)“`> 前往我们的在线编程环境运行代码：[http://blog.showmeai.tech/python3-compiler/#/](http://blog.showmeai.tech/python3-compiler/#/)### 6）汉明距离（Hamming Distance）汉明距离定义的是两个字符串中不相同位数的数目。例如，字符串‘1111’与‘1001’之间的汉明距离为2。信息编码中一般应使得编码间的汉明距离尽可能的小。$$d_{12} = \\sum_{k=1}^{n} \\left ( x_{1k} \\oplus x_{2k}\\right )$$**汉明距离的Python实现**：“`pythonimport numpy as npa=np.array([1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0])b=np.array([1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1])hanm_dis = np.count_nonzero(a!=b)print("汉明距离为", hanm_dis)“`> 前往我们的在线编程环境运行代码：[http://blog.showmeai.tech/python3-compiler/#/](http://blog.showmeai.tech/python3-compiler/#/)### 7）杰卡德系数（Jaccard Index）两个集合$A$和$B$的交集元素在$A$和$B$的并集中所占的比例称为两个集合的杰卡德系数，用符号$J(A,B)$表示，数学表达式为：$$J( A,B ) =\\frac{| A\\cap B| }{|A\\cup B | }$$杰卡德相似系数是衡量两个集合的相似度的一种指标。一般可以将其用在衡量样本的相似度上。> 前往我们的在线编程环境运行代码：[http://blog.showmeai.tech/python3-compiler/#/](http://blog.showmeai.tech/python3-compiler/#/)### 8）杰卡德距离（Jaccard Distance）与杰卡德系数相反的概念是杰卡德距离，其定义式为：$$J_{\\sigma} =1-J( A,B ) =\\frac{| A\\cup B | -| A\\cap B | }{| A\\cup B | }$$**杰卡德距离的Python实现**：“`pythonimport numpy as npvec1 = np.random.random(10)>0.5vec2 = np.random.random(10)>0.5vec1 = np.asarray(vec1, np.int32)vec2 = np.asarray(vec2, np.int32)up=np.double(np.bitwise_and((vec1 != vec2),np.bitwise_or(vec1 != 0, vec2 != 0)).sum())down=np.double(np.bitwise_or(vec1 != 0, vec2 != 0).sum())jaccard_dis =1-(up/down)print("杰卡德距离为", jaccard_dis)“`> 前往我们的在线编程环境运行代码：[http://blog.showmeai.tech/python3-compiler/#/](http://blog.showmeai.tech/python3-compiler/#/)# ShowMeAI相关文章推荐* [图解线性代数与矩阵论](http://www.showmeai.tech/article-detail/162)* [图解信息论](http://www.showmeai.tech/article-detail/164)* [图解微积分与最优化](http://www.showmeai.tech/article-detail/165)# ShowMeAI系列教程推荐* [图解Python编程：从入门到精通系列教程](http://www.showmeai.tech/tutorials/56)* [图解数据分析：从入门到精通系列教程](http://www.showmeai.tech/tutorials/33)* [图解AI数学基础：从入门到精通系列教程](http://showmeai.tech/tutorials/83)* [图解大数据技术：从入门到精通系列教程](http://www.showmeai.tech/tutorials/84)