网络流的问题描述、原理及算法

网络流是acm题中的一类数据结构、算法问题。其数据结构为一个有向图G = {V, E}，V中有两个特殊的点称为源点和汇点，每条边称为弧，每条边有一个权值（均为正数）称为弧的容量，代表能通过这个弧的最大流量，实际上通过这个边的权值为弧的流量，小于等于容量。一般考察的问题为，从源点到汇点的最大流及其路径。

问题特征

我们可以注意到网络流问题有以下两个特征。

1. 每条弧的流量小于等于容量
2. 除了源点与汇点，每个顶点的流入流量之和等于留出流量之和

满足这两个特征的网络流我们称之为可行流，而可行流中从源点出发的流量和最大的可行流我们称之为最大流。

原理

使用到最大流最小割定理，原理详见网络流基础、最大流最小割定理以及证明

数据结构

存有向图，边矩阵和边链表都行

算法

增广路查找，有增广路更新，无增广路找到最大流。需要提高对增广路的理解。EK就是不停BFS，找到一条路更新流量；再次BFS，直到找不到路。dinic是构造层次网络，先BFS再DFS，差不多；SAP是不再每次BFS构造层次网络，而是在DFS时动态更新层次网络。

最小费最大流

在最短路过程BFS中，加入判断流量<容量的判定条件，找到一个最短路后更新这条路的各边流量；再次找最短路，直到找不到最短路为止（剩余容量不足）。