什么是量子态矢量?
在前面一篇量子系统模拟的博客中,我们介绍了使用python去模拟一个量子系统演化的过程。当我们尝试理解量子态和量子门操作时,可以通过其矩阵形式的运算来描述量子态演化的过程:
\\[\\left|\\psi_t\\right>=e^{-iHt}\\left|\\psi_0\\right>\\]
这里的狄拉克标记符号和矩阵指数运算,在这篇博客中同样进行了介绍。我们可以简单的将该过程理解为:一个矩阵和一个矢量进行了一个点乘操作,得到了一个更新后的态矢量:
\\[\\overrightarrow{x\’}=\\textbf{A}\\overrightarad8row{x}\\]
在量子计算的框架下,由于通用的量子门操作都是酉矩阵(Unitary),因此不论是更新前还是更新后的操作,得到的态矢量总是归一化的:
\\[\\left<\\psi^*|\\psi\\right>=1\\]
因此,在本文中考虑采样时,为了方便计算,我们将态矢量先转换为概率幅矢量,再进行采样。概率幅矢量的特征表现为:
\\[\\sum_{i=0}^{2^n-1}p_i=1\\]
这里的\\(n\\)就表示该量子系统的比特数,一个量子系统的量子态元素个数,或者是概率幅的元素个数是比特数的指数倍数(跟量子比特所占用的能级数有关,最常用的是两能级系统,因此为\\(2^n\\)个元素个数)。
如何实现采样?
在上一个章节中所表述的是量子态的形式,在转换为概率幅矢量之后,其每一个元素都代表获取到当前二进制量子态的概率。这样我们获得一个量子态的态矢量或者概率幅矢量时,其实就是获得了该系统的概率分布。通过该概率分布,我们可以进行蒙特卡罗模拟:先在\\([0,1)\\)上面进行均匀随机撒点,同时将概率幅矢量转换为其对应的累积分布图,最后计算随机撒的点对应的累积分布图的位置,即可获得当前概率下的模拟采样,具体实现请参考如下示例。
采样示例一
我们先假设一个概率幅的分布,再对其进行采样。
给定一个指数下降的概率幅分布
这里我们先给定一个\\(e^{-x}\\)的概率分布函数,注意我们采取的是概率幅,因此要对其进行归一化的话只需要计算\\(y_i=\\frac{y_i}{\\sum_jy_j}\\)即可。
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltplt.figure()x=[i for i in range(32)]y=[np.exp(-i) for i in range(32)]y/=sum(y)plt.title(\'Distribution of Quantum States\')plt.xlabel(\'Quantum States\')plt.ylabel(\'Probabilities\')plt.xticks(x,(\'0\'*(7-len(str(bin(i))))+str(bin(i)).split(\'b\')[1] for i in range(32)),rotation=70)plt.plot(x,y,color=\'black\')plt.show()
在这个案例中我们还使用了一些
matplotlib
的特殊绘图技巧,这里我们不展开介绍,后续会单独写一篇文章来分析常用56c的matploblib画图姿势。
均匀随机数
这里我们直接使用python的
random
函数,就可以生成\\([0,1)\\)之间的均匀随机数,撒点数量越多,呈现的均匀分布的结果就越明显。
import randomimport matplotlib.pyplot as pltx = [random.random() for i in range(1000)]y = [random.random() for i in range(1000)]plt.figure()plt.plot(x,y,\'.\',color=\'red\')plt.show()
累积分布函数
所谓的累积分布函数,其实就是将前面获取到的概率幅矢量做一个累积叠加的操作,对应的计算方法如下:
\\[y_i=\\sum_{j<=i}y_j\\]
我们很容易可以预测,在累积分布函数的终点一定是1,这是因为前面所定义的\\(\\sum_{i=0}^{2^n-1}p_i=1\\)。
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltplt.figure()x=[i for i in range(32)]y=[np.exp(-i) for i in range(32)]y/=sum(y)for i in range(len(y)-1):y[i+1]+=y[i]plt.title(\'Cumulative Distribution Function\')plt.xlabel(\'Quantum Sad8tates\')plt.ylabel(\'Cumulative Probabilities\')plt.xticks(x,(\'0\'*(7-len(str(bin(i))))+str(bin(i)).split(\'b\')[1] for i in range(32)),rotation=70)plt.plot(x,y,color=\'black\')plt.show()
量子态采样
这里我们将概率分布函数和模拟采样结果直接放在一起进行对比:
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport randomplt.figure()x=[i for i in range(32)]y=[np.exp(-i) for i in range(32)]y/=sum(y)plt.plot(x,y,color=\'black\',label=\'Real Distribution\')for i in range(len(y)-1):y[i+1]+=y[i]sp=np.zeros(32)for i in range(50):r = random.random()for j in range(32):if y[j]>r:sp[j]+=1/50breakplt.title(\'Sampling Results with 50 times\')plt.xlabel(\'Quantum States\')plt.ylabel(\'Probabilities\')plt.xticks(x,(\'0\'*(7-len(str(bin(i))))+str(bin(i)).split(\'b\')[1] for i in range(32)),rotation=70)plt.plot(x,sp,color=\'red\',label=\'Simulated Sampling\')plt.legend()plt.show()
这里我们可以看到结果已经是非常的接近了,如果我们继续提高采样次数,结果当然会更加接近真实分布:
因此,在获得概率幅之后,我们可以根据场景对精度的要求,对该概率幅进行采样,到这里就完成了所有的功能实现。
采样示例二
除了单调函数外,这里我们再考虑另外一种形式的分布:正弦概率分布函数:
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltplt.figure()x=[i for i in range(32)]y=[np.sin(i/2)+1 for i in range(32)]y/=sum(y)plt.title(\'Distribution of Quantum States\')plt.xlabel(\'Quantum States\')plt.ylabel(\'Probabilities\')plt.xticks(x,(\'0\'*(7-len(str(bin(i))))+str(bin(i)).split(\'b\')[1] for i in range(32)),rotation=70)plt.plot(x,y,color=\'black\')plt.show()
由于上面一个示例我们已经介绍完成了基本的操作流程和原理,这里我们就不过多的赘述,直接展示累积分布函数和最终的模拟采样效果:
累积分布函数
import numpy as npimport matplotlib2080.pyplot as pltplt.figure()x=[i for i in range(32)]y=[np.sin(i/2)+1 for i in range(32)]y/=sum(y)for i in range(len(y)-1):y[i+1]+=y[i]plt.title(\'Cumulative Distribution Function\')plt.xlabel(\'Quantum States\')plt.ylabel(\'Cumulative Probabilities\')plt.xticks(x,(\'0\'*(7-len(str(bin(i))))+str(bin(i)).split(\'b\')[1] for i in range(32)),rotation=70)plt.plot(x,y,color=\'black\')plt.show()
模拟采样结果
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport randomplt.figure()x=[i for i in range(32)]y=[np.sin(i/2)+1 for i in range(32)]y/=sum(y)plt.plot(x,y,color=\'black\',label=\'Real Distribution\')for i in range(len(y)-1):y[i+1]+=y[i]sp=np.zeros(32)for i in range(3000):r = random.random()for j in range(32):if y[j]>r:sp[j]+=1/3000breakplt.title(\'Sampling Results with 3000 times\')plt.xlabel(\'Quantum States\')plt.ylabel(\'Probabilities\')plt.xticks(x,(\'0\'*(7-len(str(bin(i))))+str(bin(i)).split(\'b\')[1] for i in range(32)),rotation=70)plt.plot(x,sp,color=\'red\',label=\'Simulated Sampling\')plt.legend()plt.show()
总结概要
对一个量子态矢量进行采样的过程,主要可以分为三个步骤:
- 计算量子态对应的概率分布函数(矢量);
- 计算量子态对应的累积分布函数(矢量);
- 均匀随机采样,映射到累积分布函数中所对应的量子态,在足够多的采样次数下就可以完整的模拟出原始的量子态分布。
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